Matematik dersleri şayet doğru biçimde kavranmadığı taktirde öğrencinin ileride karşılacağı başarısızlık kaçınılmazdır. Bunu önlemenin en doğru yolu işlenen ders konuların tekrarından geçer. Tam anlamıyla anlaşılamayan her konu sizin öğrenci için her zaman eksiktir. Bir başka ifadeyle; konu üzerindeki algı tam değilse o konu ile alakalı her soru öğrenci için risk demektir. Bu riski ortadan kaldırmanın yolu farklı anlatımlara da göz atmaktan geçer. Aşağıda kümeler içe alalakı doyurucu bilgiler bulabilirsiniz. Bilgilerinize sunarız…

Kümeler

A. Tanımı

Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir.

Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.

Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,
a Î A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur.
b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin elemanı değildir.” diye okunur.

Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.

A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.

B. Kümelerin gösterilişi

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

1. Liste Yöntemi

Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.

A = {a, b, c} ise, s(A) = 3 tür.

2. Ortak özelik yöntemi

Kümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.

A = {x : (x in özeliği)}

Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.

Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.

3. Venn Şeması Yöntemi

Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.
Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.

C. Eşit küme – Denk küme

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

A kümesi B kümesine eşit ise A = B,

C kümesi D kümesine denk ise C º D dir.

Eşit olan kümeler aynı zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

D. Eşit olmayan (farklı) kümeler

Tamamen aynı elemanlardan oluşmayan kümelere eşit olmayan (farklı) kümeler denir.

A = {a, b, c}, B = {a, b, d} ise A ¹ B dir.

A = {1, b, 7}, B = {a, 2, d, 5} ise A ¹ B dir.

E. Boş küme

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir.

{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

F. Alt küme

A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir.

B É A biçiminde gösterilir.

C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir.

Alt Kümenin Özelikleri

Her küme kendisinin alt kümesidir. A Ì A

Boş küme her kümenin alt kümesidir. Æ Ì A

(A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir.

(A Ì B ve B Ì C) Ş A Ì C dir.

n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n dir.

G. Kümelerle yapılan işlemler

1. Kümelerin Birleşimi

A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir.

2. Birleşim işleminin özelikleri

A È Æ = A

A È A = A

A È B = B È A

A È (B È C) = (A È B) È C

A Ì B ise, A È B = B

A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir.

3. Kümelerin kesişimi

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir.

4. Kesişim İşleminin Özelikleri

A Ç Æ = Æ

A Ç A = A

A Ç B = B Ç A

(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)

A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

H. İki kümenin farkı

A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A B biçiminde gösterilir.

İ. Eleman sayısı

A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,

s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)

s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C) – s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)

s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)

a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun.
Tenis veya voleybol oynayanların sayısı: a + b + c

Sadece tenis oynayanların sayısı: a

Sadece voleybol oynayanların sayısı: c

Tenis oynamayanların sayısı: c + d

Voleybol oynamayanların sayısı: a + d

Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı: a + b + c

Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı: d + a + c

Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı: d